Kurz gesagt: Wer Urlaubswünsche von Mitarbeitern erfüllen und gleichzeitig Mindestbesetzung und Qualifikationen im Betrieb sichern will, löst ein ganzzahliges Zuordnungsproblem. Solche Probleme sind NP-schwer. Ab einer gewissen Größe findet man gute Pläne nicht mehr durch Probieren, sondern nur mit einem Optimierungsverfahren.
Das Dilemma in jedem Unternehmen
Zwei berechtigte Interessen stehen gegeneinander. Der Betrieb braucht Anwesenheit: genügend Mitarbeiter, die richtigen Qualifikationen, auch in Spitzenzeiten. Die Mitarbeiter brauchen Erholung zu ihrer Zeit, und viele wollen im Sommer oder in den Schulferien frei haben. Für die Personalabteilung ist es schwierig, beiden Seiten gerecht zu werden.
Wie man die Aufgabe mathematisch beschreibt
Ein Optimierungsmodell hat drei Bausteine.
Entscheidungen. Für jeden Mitarbeiter und jede Woche wird entschieden: Urlaub ja oder nein. Es sind also ganze Entscheidungen, keine Bruchteile. Daher spricht man von einem ganzzahligen Problem.
Zielfunktion. Sie misst, wie gut ein Plan ist. Hier: wie viele Urlaubswünsche der Mitarbeiter erfüllt werden, gewichtet nach der Stärke des Wunsches (egal, gern, wichtig, unbedingt).
Nebenbedingungen. Sie legen fest, was ein Plan auf jeden Fall einhalten muss: Mindestbesetzung je Aufgabe und Woche, Qualifikationen der Anwesenden, Urlaubsanspruch, Arbeitszeit, gesperrte Wochen.
Ein Plan, der alle Nebenbedingungen einhält, heißt zulässig. Unter allen zulässigen Plänen sucht das Verfahren den mit der besten Zielfunktion.
Warum man das nicht von Hand löst
Ein Beispiel für die Größenordnung: Ein Unternehmen hat 100 Mitarbeiter, jeder soll drei Urlaubswochen aus 52 Wochen bekommen. Für einen einzelnen Mitarbeiter gibt es 52 · 51 · 50 / 6 = 22.100 mögliche Kombinationen.
Für alle 100 Mitarbeiter zusammen sind das 22.100 hoch 100, also rund 10 hoch 434 Kombinationen, noch bevor eine einzige Nebenbedingung geprüft wurde. Zum Vergleich: Im sichtbaren Universum gibt es etwa 10 hoch 80 Atome.
Hinzu kommt: Jede Entscheidung für einen Mitarbeiter verändert die Besetzung in der Woche und damit die Möglichkeiten aller anderen. Man kann das Problem nicht Mitarbeiter für Mitarbeiter abarbeiten, ohne später zurückzugehen.
Was NP-schwer bedeutet
NP-schwer ist ein Begriff aus der Komplexitätstheorie. Er beschreibt Probleme, für die kein Verfahren bekannt ist, das in allen Fällen schnell die beste Lösung garantiert. Der Rechenaufwand wächst mit der Größe sehr schnell. Das heißt nicht, dass sich solche Probleme nicht lösen lassen. Moderne Solver nutzen systematische Verfahren, die große Teile des Suchraums sicher ausschließen, und finden damit auch bei realistischen Unternehmensgrößen sehr gute Pläne.
Was Tabellen und Abstimmungsrunden leisten
Bei einem kleinen Team funktioniert die manuelle Abstimmung. Mit wachsender Größe entstehen typische Probleme:
- Der Plan ist zulässig, aber nicht gut. Es hätte einen Plan gegeben, der mehr Wünsche erfüllt.
- Wer sich früh meldet oder laut ist, bekommt, was er will. Die anderen merken es.
- Die Entscheidungen sind kaum nachvollziehbar, und jede Änderung löst neue Konflikte aus.
- Die Planung kostet HR viel Zeit.
Worauf es bei Software für die Urlaubsplanung ankommt
- Betriebliche Erfordernisse sind feste Bedingungen, keine Wünsche unter vielen.
- Wünsche sind vergleichbar erfasst, mit derselben Skala für alle.
- Die Software optimiert wirklich, statt nur Konflikte anzuzeigen.
- Vorgaben werden vorab geprüft, damit unerfüllbare Konstellationen früh auffallen.
- Das Ergebnis ist nachvollziehbar, damit der Plan akzeptiert wird.
- Die Bedienung ist einfach, für HR und für Mitarbeiter.
Genau dafür ist Vacanza-hr gebaut: Es maximiert die Bedürfniserfüllung der Mitarbeiter bei der Urlaubsplanung, ohne dass die betrieblichen Abläufe darunter leiden, und macht die Planung dabei kinderleicht. Der Ablauf steht unter So funktioniert es.
Glossar
- Ganzzahliges Zuordnungsproblem
- Aufgabe, bei der Elementen (hier Mitarbeitern) ganzzahlig Ressourcen oder Zeiträume (hier Urlaubswochen) zugeordnet werden, unter Nebenbedingungen und mit einem Ziel.
- NP-schwer
- Eigenschaft von Problemen, für die kein Verfahren bekannt ist, das stets schnell die beste Lösung garantiert. Der Aufwand wächst mit der Größe sehr schnell.
- Zielfunktion
- Maß dafür, wie gut ein Plan ist. Das Verfahren sucht den Plan mit dem besten Wert.
- Nebenbedingung
- Regel, die ein Plan einhalten muss, etwa die Mindestbesetzung.
- Zulässiger Plan
- Plan, der alle Nebenbedingungen erfüllt.
- Solver
- Programm, das aus Zielfunktion und Nebenbedingungen einen optimalen oder sehr guten Plan berechnet.
- Mindestbesetzung
- Anzahl der Mitarbeiter, die je Aufgabe und Woche mindestens anwesend sein müssen.
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